PROGRAMMA
La
giornata di finanza matematica si terrà presso la sede di
Milano
dell'Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche, Via
Bassini 15, 20133 Milano - Sala Convegni.
La partecipazione alla
giornata è gratuita. Tuttavia, per
motivi organizzativi, gli interessati sono pregati di inviare una mail
all'indirizzo sara_AT_mi.imati.cnr.it, entro il 2 aprile,
comunicando l'intenzione di
partecipare.
COMITATO ORGANIZZATORE
Gabriella Bonfanti (CNR-IMATI)
Sara Pasquali (CNR-IMATI)
INTERVENTI
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CARL
CHIARELLA - UNIVERSITY OF TECHNOLOGY - SYDNEY
The Evaluation of American
Compound Option Prices under Stochastic Volatility
(PRESENTAZIONE)
Carl Chiarella
and Boda Kang
School of Finance
and Economics
University of
Technology, Sydney
We
consider the problem of evaluating numerically American compound option
prices when the dynamics of the underlying are driven by stochastic
volatility, in particular following the square root process of Heston
(1993). A compound option (called the mother option) gives the holder
the right, but not obligation to buy (long) or sell (short) the
underlying option (called the daughter option). Geske (1979) developed
the first closed-form solution for the price of a vanilla European call
on a European call.
The incorporation of stochastic volatility into
the price of compound options was first attempted by Han (2003) in his
thesis. Fouque and Han (2004) introduce a fast, efficient and robust
approximation to compute the prices of compound options such as
call-on-call options within the context of multi-scale stochastic
volatility models. However, they only consider the case of European
option on European option. Also their method relies on certain
expansions so the range of validity of their approach is not entirely
clear.
In this paper, we set up the partial differential equation
(PDE) approach to pricing European and American-type compound options.
We assume that both the mother and the daughter options may be
American-type. The compound option prices are modelled as a solution of
a two-pass free boundary PDE problem.
It seems computationally
demanding to solve those two nested PDEs, however, we have applied a
modified sparse grid combination approach which was developed by
Reisinger in his PhD thesis to solve high dimensional PDEs in a fast
and accurate manner. Since the underlying share price has different
scale characteristics compared with the levels of the volatility, it is
difficult to implement the techniques in Reisinger's thesis directly.
Instead, we have found that by modifying their approach slightly,
namely by adding some fixed number of points to the volatility
direction in each of the subspaces results in a relative ``balance" in
both direction and this modification produces accurate and efficient
results.
We implemented our modified sparse grid combination
technique to solve the free boundary PDE followed by the price of the
daughter option so that we obtain the desired prices and free
boundaries by further interpolation and extrapolation. In this way we
obtain the initial and boundary conditions for the mother option. Next,
we apply this technique again to solve the free boundary PDE followed
by the prices of the mother option to obtain the prices of the compound
option. In fact, we solve those PDEs in each of the subspaces on a
parallel cluster, which makes the process very efficient.
We also
develop a Monte Carlo Simulation scheme to evaluate the prices of
American compound option. Comparing the two approaches, we find that
the modified sparse grid combination technique works well in producing
both efficient and accurate prices for the compound option under
stochastic volatility dynamics.
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DANIELE MARAZZINA -
POLITECNICO DI MILANO
Opzioni path-dependent e
procedure di randomizzazione (PRESENTAZIONE)
In questo seminario
si mostra come sia possibile trasformare l’usuale ricorsione
a ritroso che si
ottiene da alcuni modelli di option pricing in una serie di equazioni
integrali; il prezzo dell’opzione è quindi
ottenuto risolvendo equazioni
integrali fra loro indipendenti attraverso procedure numeriche basate
su
quadrature. Più nel dettaglio, questa tecnica di pricing si
basa sulla randomizzazione
del tempo a scadenza dell’opzione secondo una distribuzione
geometrica di
parametro q; in questo modo il problema
di pricing è trasformato in un’equazione integrale
parametrizzata mediante q.
La rilevanza di
questa procedura viene mostrata considerando opzioni path-dependent,
quali
opzioni asiatiche, retrospettive (o lookback) e a barriera singola e
doppia, quando
il sottostante evolve secondo un processo esponenziale di tipo
Lévy.
Path-dependent
options and randomization techniques
By geometric randomization of the option maturity,
we are able to
transform the usual n-steps
backward
recursion that arises in option pricing into a set of integral
equations. The
option price is then obtained solving independent integral equations:
this is
accomplished by a quadrature procedure that transforms each integral
equation
in a linear system. More in detail, the idea for solving the pricing
problem
consists in randomizing the option expiry, according to a geometric
distribution of parameter q; the
randomized problem transforms the pricing problem into an integral
equation
parametrized by q.
We show the relevance of our procedure, pricing path-dependent options
(such as Asian, Lookback, Single and Double Barrier options) when the
underlying evolves according to different exponential Lévy
processes.
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FABIO
TROJANI - UNIVERSITY OF LUGANO - SWISS FINANCE INSTITUTE
Asset
Pricing with Matrix Jump Diffusions (PRESENTAZIONE)
Joint work with Markus
Leippold, University of Zurich
We introduce a new
class of
matrix-valued affine jump diffusion models of multivariate sources of
risk. The flexibility and the tractability of our setting gives rise to
an analytical transform analysis that opens a wide range of
applications within both single-asset and multi-asset settings.
Examples include multivariate option pricing with general volatility
and correlation structures, fixed-income models with stochastically correlated
risk factors and default intensities, or dynamic portfolio choice with
jumps in returns, volatilities or correlations.
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FERNANDA D'IPPOLITI -
UNIVERSITÀ DI CHIETI - PESCARA
Un modello a
volatilità stocastica con salti per la valutazione di opzioni (PRESENTAZIONE)
Joint work with E. Moretto, S. Pasquali and B. Trivellato
Si propone un nuovo modello per la valutazione di titoli derivati in
cui è presente una componente di salto sia nella dinamica
del
sottostante che nella sua volatilità stocastica. Tale
modello
ammette, analogamente a quello di Heston, una formula chiusa per le
opzioni di tipo europeo e, grazie alla sua struttura, un'espressione
esplicita per il prezzo di consegna dei contratti variance swap. Per la
valutazione di strumenti finanziari per i quali non esiste una formula
chiusa, viene proposto un metodo numerico detto algoritmo esatto, in
quanto permette di non discretizzare le equazioni differenziali
stocastiche che costituiscono il modello. Tale metodologia viene
applicata alla valutazione di opzioni barriera.
In questo contesto, viene inoltre presentato un approccio Bayesiano per
la stima di parametri a partire da serie storiche di dati finanziari.
Con tale approccio è possibile ottenere non solo il valore
dei
parametri presenti nel modello ma anche i valori della
volatilità, dei tempi e delle ampiezze di salto, i cui
effetti
rivestono particolare importanza nei periodi di crisi dei mercati come
quello del 2008. Verranno infine forniti alcuni risultati numerici che
mostrano la validità delle proposte fatte.
Stochastic volatility
jump-diffusion model for pricing
A stochastic volatility jump-diffusion model for pricing derivatives
with jumps in both spot returns and volatility dynamics is presented.
This model admits, in the spirit of Heston, a closed-form solution for
European-style options. The structure of the model is also suitable to
obtain the fair delivery price of variance swaps. To evaluate
derivatives whose value does not admit a closed-form expression, a
methodology based on an “exact algorithm”, in the
sense
that no discretization of equations is required, is developed and
applied to barrier options.
In this setting, we also develop a Bayesian method for parameter
estimation starting from time series of financial data. The approach
provide estimates of parameters, spot volatility, jump times, and jump
sizes that are particularly useful for identifying their effects during
periods of market stress, such as that in 2008. Some numerical results
are provided.
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TIZIANO
VARGIOLU - UNIVERSITÀ
DI PADOVA
Prepagamento
e fallimento ottimali per mortgage-backed securities
(PRESENTAZIONE)
Joint work with Giulia
De Rossi
Studiamo i problemi di
arresto ottimale contenuti in un tipico mutuo. Nonostante un possibile
comportamento non razionale del tipico mutuatario, il problema merita
di essere risolto da parte di chi ha prestato il capitale per
proteggersi dal rischio di prepagamento, e poiche' molti modelli di
prezzaggio di mortgage-backed securities incorporano questa
subottimalita' attraverso una cosiddetta funzione di prepagamento che
puo' dipendere, al tempo t, dal fatto che il
prepagamento sia ottimale o meno. Enunceremo il problema del
prepagamento nel contesto della teoria dell'arresto ottimale e
presenteremo un algoritmo per risolvere il problema attraverso la
convergenza debole. Presenteremo anche risultati numerici nel caso del
modello di Vasicek e del modello CIR. La procedura sara' estesa al caso
in cui sono possibili sia prepagamento che fallimento.
Optimal
prepayment and default rules for mortgage-backed securities
We study the optimal stopping
problems embedded in a typical mortgage. Despite a possible
non-rational behaviour of the typical borrower of a mortgage, the
problem is worth to be solved for the lender to hedge against the
prepayment risk, and because many mortgage-backed securities pricing
models incorporate this suboptimality via a so-called prepayment
function which can depend, at time t, on the fact that the
prepayment is optimal or not. We state the prepayment problem in the
context of the optimal stopping theory and present an algorithm to
solve the problem via weak convergence. Numerical results in the case
of the Vasicek model and of the CIR model are also presented. The
procedure is extended to the case when both the prepayment as well as
the default are possible.
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ALESSANDRA CRETAROLA -
LUISS GUIDO CARLI
Strategie di consumo
ottimali in mercati illiquidi (PRESENTAZIONE)
Joint work with Fausto Gozzi, Huyên Pham and Peter Tankov
Studiamo un problema di controllo stocastico a tempi misti
discreti/continui derivante da un problema di scelta
portafoglio/consumo in un modello di mercato ad istanti aleatori di
trading introdotto in [1] e studiato anche in [2]. In questo modello di
mercato soggetto a rischio di liquidità, i prezzi dei titoli
possono essere osservati e trattati solo agli istanti aleatori di un
processo di Poisson corripondenti alle quotazioni nel mercato. Inoltre
l'investitore ha la possibilità di consumare continuamente
denaro dal proprio conto bancario e il suo obiettivo è di
massimizzare l'utilità scontata attesa del consumo. Il
problema
di ottimizzazione risultante è un problema di controllo
stocastico non standard a tempi misti discreti/continui, che porta
attraverso il principio della programmazione dinamica ad un sistema
accoppiato di equazioni differenziali integrali alle derivate parziali
non lineari (in breve IPDE). In [2], gli Autori hanno dimostrato che le
funzioni valore di questo problema di controllo stocastico sono
caratterizzate come le uniche soluzioni di viscosità della
corrispondente IPDE accoppiata. Questa caratterizzazione rende
possibile il calcolo delle funzioni valore (si veda [1]), ma non
consente di trovare la strategie ottimali di consumo in forma
esplicita.
Il maggior contributo di questo lavoro è quello di provare
che
le funzioni valore sono differenziabili di classe C1, andando quindi
oltre la proprietà di viscosità. In effetti,
usando
argomenti di (semi)concavità e la convessità
dell'Hamiltoniana associata all'IPDE congiuntamente alla
caratterizzazione delle soluzioni di viscosità, dimostriamo
che
le funzioni valore sono continuamente differenziabili. Tale risultato
di regolarità permette di ottenere attraverso un teorema di
verifica l'esistenza di un controllo ottimale e di caratterizzare la
strategia ottimale di portafoglio/consumo sia in forma feedback in
termini delle classiche derivate delle funzioni valore che come
soluzione di una ODE del secondo ordine.
Infine, verranno fornite illustrazioni numeriche che descrivono
l'andamento delle strategie di consumo ottimali tra due giorni nei
quali viene effettuata una certa operazione finanziaria.
REFERENCES
[1] Pham H. and Tankov P. (2008), "A Model of Optimal Consumption under
Liquidity Risk with Random Trading Times", Mathematical Finance, 18
(4), 613-627.
[2] Pham H. and Tankov P. (2009), "A Coupled System of
Integrodifferential Equations Arising in Liquidity Risk Model", Applied
Mathematics and Optimization 59, 147-173.
Optimal consumption
policies in illiquid markets
We study a mixed discrete/continuous time stochastic control problem
arising from a portfolio/consumption choice problem in a market model
with random trading times introduced in [1] and also studied in [2]. In
this market model under liquidity risk, stock prices can be observed
and traded only at random times of a Poisson process corresponding to
quotes in the market. The investor is also allowed to consume
continuously from the bank account and her/his objective is to maximize
the expected discounted utility from consumption. The resulting
optimization problem is a nonstandard mixed discrete/continuous time
stochastic control problem, which leads via the dynamic programming
principle to a coupled system of nonlinear integro-partial differential
equations (in short IPDE).
In [2], the Authors proved that the value functions to this stochastic
control problem are characterized as the unique viscosity solutions to
the corresponding coupled IPDE. This characterization makes the
computation of value functions possible (see [1]), but it does not
yield the optimal consumption policies in explicit form.
The main contribution of this paper is to derive smoothness C1 results
for the value functions, going beyond the viscosity property. Actually,
by using arguments of (semi)concavity and convex Hamiltonian for the
IPDE in connection with viscosity solutions, we prove the continuous
differentiability of the value functions. Such regularity result allows
then to get the existence of an optimal control through a verification
theorem and to characterize the optimal portfolio/consumption strategy
both in feedback form in terms of the classical derivatives of the
value functions and as the solution of a second-order ODE. Finally,
numerical illustrations of the behavior of optimal consumption
strategies between two trading dates are given.
REFERENCES
[1] Pham H. and Tankov P. (2008), "A Model of Optimal Consumption under
Liquidity Risk with Random Trading Times", Mathematical Finance, 18
(4), 613-627.
[2] Pham H. and Tankov P. (2007), "A Coupled System of
Integrodifferential Equations Arising in Liquidity Risk Model", Applied
Mathematics and Optimization 59, 147-173.
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ANDREA PASCUCCI -
UNIVERSITÀ
DI BOLOGNA
Valutazione di opzioni
con EDS lineari (PRESENTAZIONE)
Questa conferenza presenta un survey della teoria delle equazioni
differenziali di Kolmogorov della fisica e della finanza, associate ad
equazioni stocastiche lineari. Tali PDE di evoluzione, che in generale
non sono uniformemente paraboliche, sono naturalmente associate a
modelli stocastici con memoria. Un tipico esempio è dato dai
derivati finanziari path-dependent: in particolare saranno discusse
opzioni Asiatiche di tipo Europeo ed Americano.
Option pricing with
linear SDEs
The talk presents a survey of the theory of partial differential
equations of Kolmogorov type arising in physics and in mathematical
finance, associated to a linear SDE. These evolutionary equations,
which are generally non-uniformly parabolic, are naturally associated
to stochastic models with memory. Financial derivatives with dependence
on the past provide some typical examples: in particular, Asian options
of European and American style and the modeling of stochastic
volatility for the evaluation of derivative securities will be
discussed.
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LORENZO MERCURI -
UNIVERSITÀ
DI MILANO BICOCCA
Valutazioni di opzioni
asiatiche in modelli Garch affini (PRESENTAZIONE)
In questo lavoro deriviamo una relazione ricorsiva per la funzione
generatrice dei momenti della media geometrica quando il sottostante
segue un modello Garch Affine. Tale risultato è utilizzato
per
determinare in modo semi-analitico il prezzo di un opzione asiatica
geometrica. Una relazione simile è ottenuta per i momenti
della
media aritmetica del sottostante consentendoci di determinare il prezzo
di un’opzione asiatica aritmetica, attraverso una
approssimazione della
vera distribuzione. In entrambi i casi, per testare
l’accuratezza delle
procedure proposte, abbiamo confrontato i prezzi ottenuti con quelli
trovati tramite simulazione Monte Carlo.
Pricing Asian options in
affine Garch models
We derive recursive relationships for the m.g.f. of the geometric
average of the underlying within some affine Garch models used for the
semianalytical valuation of geometric Asian options. Similar
relationships are obtained for low order moments of the distribution of
the arithmetic average of the underlying in the same models, that are
used for approximate evaluation of arithmetic Asian options. In both
cases the accuracy of the semi-analytical procedure is assessed by
means of a comparison with Montecarlo prices.
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